Self-averaging radiative transfer for parabolic waves

A systematic derivations of self-averaging scaling limits of parabolic waves in terms of the Wigner distribution function is presented. The convergence of the Wigner distribution to one of the six deterministic radiative transfer equations is established. One of the main contributions of this Note is a unified framework for space–time scaling limits that lead to radiative transfer. To cite this article: A.C. Fannjiang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ••• (••••).  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Transfert radiatif statistiquement stable pour des ondes paraboliques. On présente une méthode systématique de déduction des limites normalisatrices statistiquement stables d’ondes paraboliques en termes de la distribution de Wigner. On démontre la convergence de la distribution de Wigner vers une équation de transfert radiatif, parmi les six possibles. Une des principales contributions de cette Note réside dans un cadre unifié pour les limites normalisées en espace–temps menant au transfert radiatif. Pour citer cet article : A.C. Fannjiang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ••• (••••).  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Version française abrégée On commence par l’approximation parabolique (ou paraxiale) de l’équation de Helmholtz avec longueur d’onde 2π/k qui est décrite par l’équation de Schröginder (1) où Ψ est la modulation d’amplitude, k le nombre d’onde et z, x ∈R2 respectivement les coordonnées longitudinales et transverses du guide d’onde. Ensuite on normalise l’ Éq. (1) par les longueurs longitudinales et transverses Lz, Lx du guide d’onde, la longueur de corrélation L0 de la fluctuation de la susceptibilité électrique et la longueur d’onde. L’équation résultant de cette normalisation est (2) où V est la variation moyenne normalisée avec longueur de corrélation unitaire. Les quatre paramètres les plus important sont les rapports z = Lz/L0, x = Lx/L0, le nombre de Fresnel γ , donné par (3), et l’amplitude de la variation σ , et toute la famille des limites normalisatrices statistiquement stables peut être E-mail address: [email protected] (A.C. Fannjiang). 1 The research is supported in part by the Centennial Fellowship from American Mathematical Society and U.S. National Science Foundation grant DMS 0306659. 1631-073X/$ – see front matter  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2005.11.006 ARTICLE IN PRESS S1631-073X(05)00523-6/FLA AID:3078 Vol.•••(•••) [+model] P.2 (1-6) CRASS1:m3SC+ v 1.50 Prn:7/12/2005; 10:26 crass13078 by:ES p. 2 2 A.C. Fannjiang / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ••• (••••) •••–••• décrite, quand γ → 0, z, x → ∞ tels que limγ x < ∞ quand σ → ∞, de différentes manières dépendant de la relation entre γ , z, x . Deux hypothèse principales sont faites sur la fluctuation moyenne V : la première est que V (z,x) est un processus Gaussien homogène de carré intégrable dont la densité de puissance spectrale Φ(ξ,k) diminue pour | k| = ∞, k = (ξ,k) avec une puissance suffisamment élevée de | k|−1, le seconde est que le coefficient de corrélation maximal r(t) défini en (4) est intégrable (5). Un moyen utile pour analyser les ondes correspondants à des petits nombres de Fresnel est la distribution de Wigner dont la forme d’état pure est donnée par (6). La distribution de Wigner sous sa forme mixte est une combinaison convexe de ses formes d’état pure et satisfait l’équation de Wigner–Moyal (7). La distribution de Wigner préserve la majorité des informations sur la modulation d’amplitude et a une limite bien définie quand γ → 0 (voir [13] et [10] pour plus d’éléments à ce sujet). L’ensemble des limites normalisatrises est déduit dans deux théorèmes : le premier concerne le cas où limγ x > 0 et le second concerne le cas où limγ x = 0. Théorème 0.1. Soient γ → 0, x → ∞ tels que limγ x = 1. Si, de plus, z, σ → ∞ sont liés par les relations ci-dessous, alors la distribution de Wigner, comme solution faible de l’équation de Wigner–Moyal, converge en probabilité à la solution de l’équation de transport (11) avec K(p,q) un noyau non-négatif donné par ce qui suit : (a) Si limσ/ √ z = 1, lim x/ z = 0 alors K est donné par (12). (b) Si limσ/ √ x = 1, lim x/ z =∞, lim x/ 4/3 z = 0 et d 3 alors K est donné par (13). (c) Si limσ/ √ z = 1, lim x/ z = 1 alors K est donné par (14). Théorème 0.2. Soient γ → 0, x → ∞ tels que limγ x = 0. Si, de plus, z, σ → ∞ sont liés par les relations ci-dessous, alors la distribution de Wigner converge en probabilité, en tant que fonction faible, vers la solution de l’équation de Fokker–Planck (15) avec D étant une matrice symétrique, nonnegative-définie définie par : (a) Si limγ xσ/ √ z = 1, lim x/ z = 0 alors D est donné par (16). (b) Si limγ xσ/ √ x = 1, lim x/ z =∞, lim x/ 4/3 z = 0 et d 3 alors D est donné par (17). (c) Si limγ xσ/ √ z = 1, lim x/ z = 1 alors D est donné par (18). La méthode de preuve est basée sur la méthode de fonction test perturbée [4,12,16]. La limitation principale des résultats ci-dessus est la condition lim x/ 4/3 z = 0 dans les Théorèmes 0.1(b) et 0.2(b). Ceci est dû au fait qu’on n’utilise que le premier correcteur afin que la preuve soit courte ; on s’attend à ce que cette condition soit relaxée si des corrections supplémentaires sont faites dans l’analyse.